그림으로 보는 범주론의 순서

순서(order) 를 집합 위의 이항 관계로 보고, 그 관계가 반사성, 추이성, 반대칭성, 전순성을 만족할 때 어떤 구조가 되는지 정리한다.

선형 순서(total order) 는 모든 두 원소가 비교 가능한 구조이고, 부분 순서(poset) 는 여기서 전순성을 뺀 구조다. 부분 순서에서는 모든 원소가 서로 비교되지는 않지만, chain, 최댓원소/최솟원소, join, meet, Hasse diagram으로 구조를 읽을 수 있다.

예시로는 색 혼합, 나눗셈 가능성, 집합 포함 관계를 든다. 색 혼합과 포함 순서는 lattice를 이루고, 나눗셈 순서에서는 join = 최소공배수, meet = 최대공약수가 된다.

Birkhoff’s representation theorem을 통해, 어떤 distributive lattice는 자신의 join-irreducible elements의 포함 순서와 동형임을 설명한다. 즉, 격자는 추상적인 구조처럼 보여도 결국 더 작은 생성 원소들의 inclusion order로 표현될 수 있다.

순서 동형(order isomorphism) 은 바탕 집합 사이의 가역 함수이면서 순서를 보존하는 함수다. 수의 나눗셈 순서와 소수 거듭제곱의 포함 순서가 같은 구조로 대응하는 예를 통해 이를 보여준다.

마지막으로 preorder를 다룬다. preorder는 반사성과 추이성만 가지며, 서로 양방향으로 연결된 원소들을 동치류로 묶으면 그 위에 부분 순서를 만들 수 있다.

이 관점에서 preorder는 곧 범주(category) 로 읽힌다. 각 객체에 identity morphism이 있고, 관계의 추이성은 합성에 해당한다. 특히 모든 전순서는 두 객체 사이에 최대 하나의 사상만 있는 thin category로 볼 수 있으며, 이때 coproduct는 join, product는 meet와 대응한다.